数据包络分析法2

2019-09-26 808

    式(6-25a)是输入型DEA对偶模型,其中对偶变量日的取值尽管无限制,但实 际上有00,i=1,2,… m;;>0,j=1,2…,0,则称被评单位k。 是DEA有效的。 这里不加证明地给出如下结果,如果读者想了解证明过程,请参考相关文献 (魏权龄,2004)。 定理6-12R模型都具有最优解,并且min0=maxByA。<1。 定理6-2至少存在一个决策单元是DEA有效的。

    定理6-3决策单元的弱DEA有效和DEA有效与输入量和输出量的量纲 无关。 定理6-4决策单元的各输入、输出量同倍增长不会影响决策单元的弱DEA 有效性和DEA有效性。 定理6-5C2R的输人模型和输出模型的原问题具有相同的最优解,并且最 优目标函数值互为倒数;min E。 而axE云”对偶问题的最优解满足关系(6-26)。 以上定理为DEA法奠定了理论基础,通过这些定理可以得出以下结论。 

   (1)R模型都存在最优解,几种模型的最优解是等价的。 

   (2)DEA有效性评价与输入、输出量量纲无关,也与它们的同倍增加和减少 无关。

    (3)DEA有效性评价实际上是各决策单元之间相对比较后得出的结果,是相 对有效性评价。

    (4)各决策单元必须是同一类单元,相互之间具有可比性,用于评价的输入输 出量种类相同(数值不同)。

     另外,在DEA模型(6-24)中,如果约束条件数n和决策变量a,、β个数 (m+o)之间,满足关系(m十o)>n+1,则根据基本可行解的特性,最优的基本可 行解中必有决策变量等于0,那么能否根据DEA有效性的定义6-2,就断定该决策 单元只是弱DEA有效的?一般不能。因为在这种情况下,C2R模型可能存在无 穷多最优解,其中最优解凸集的顶点在坐标轴上,凸集的内点都是最优解,这些内 点中可能存在各决策变量都大于零的点,此时是DEA有效的。 例6-3在例6-2中,以航线为决策单元,n=5,投入是运行成本,产出包括收 益、贡献值和需求,因此,m=1,o=3。表6-7给出了投入和产出量的具体数值,现 评价这5条航线的有效性。 解取航线1为被评单位:ko=1,并令x=a3,y1=a1,y2=a2,y3=a4。根据 表6-7的数据,输出型DEA对偶模型如下: 以其他航线为被评单位,可以给出另外4个类似的模型,可用ILOG/CPLEX 编程求解给出,即对于航线1:A:=0,iA3,p3=1.25,~1.125 对于航线2:A:=0,i决3,p3=1.25,7'=1.o227 对于航线3:pi=0,i3,p3=1.0,=1.6 对于航线4:p1=0,iA3,p3=1.5,7=1.680 对于航线5:p:=0,i产5,5E1.0.7c1.6 根据定理6-5和定义6-1可知,只有航线3和航线5至少是弱DEA有效的, 其他三条航线都是非DEA有效的。

     根据定理6-2可知,在航线3和航线5中至少 有一条是DEA有效的。根据互补松弛定理可知,对于航线3和航线5的情况,由 子对偶问题约束条件的松弛变量都等于0,很有可能原问题的决策变量最优解a、 a20.k=1,2.3,4,5,带想这两条航线都是DEA有效的。请同学们通过计算原间 题最优解ax、BA来验证这个结论。 DEA法不能给出被评对象的优劣排序,只能评价其是否DEA有效。对于上 例,我们无法再给出航线3和航线5谁更好些。对于非DEA有效的航线1、航线2 和航线4,是否能根据最优解的结果,给出航线1最差的结论?请同学们讨论这个 问题。 从上述讨论可以看出,DEA法不受主观判断的影响,权重只受选择的输入量 和输出量影响,也就是如果选择不同的输人量和输出量,评价结果可能不同。

    例如,如果把需求从输出量中删除,也就是本公司对需求大小(市场份额)不太关心, 则重新进行DEA分析发现,航线5的效率系数成为 对于航线5:p:=0,i3,p3=1.0,7=1.2 其他航线的效率系数不变。因此,航线5已变成非DEA有效的了,此时只有 航线3是DEA有效的。 上述结论与层次分析法产生的结果不太一致,层次分析法评价的结果排在前 面的不一定是DEA有效的。因为层次分析法分析的结果受权重影响比较大,权 重是由专家在属性之间两两比较后给出的,受主观因素影响比较重,所以只能通过 一致性检验判断权重的合理性。


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